Problèmes de probabilités et statistiques

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Man From Outerspace
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Man From Outerspace »

Virgile a écrit : sam. juin 18, 2022 8:08 pm J'appelle à l'aide des Sages Calculateurs qui passent par ici, merci d'avance !  J'ai un jeu de cartes avec 4 séries identiques numérotées de 1 à 14 (donc 56 cartes).
Quand j'en tire X, quelles chances d'en avoir
- au moins  2 identiques ?
- au moins 3 identiques ?
- au moins 4 identiques ?
Elles sont mélangées ensembles.

Déjà, c'est un problème de combinaisons (et pas d'arrangements : l'ordre des tirages n'intervient pas) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinais ... 9matiques)

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media ... 0205f6e4b0

Les probas pour le poker (tirage 5 cartes) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_au_poker

Nombre de parties à k éléments, c'est-à-dire du nombre de k-combinaisons dans un ensemble à n éléments

Image

Et si je ne me suis pas trompé (mais j'ai dû me mêler les pinceaux, car il est tard…) :

Si k = 2,
Nombre de combinaisons avec une paire dans une main de 2 cartes = 14 x 6
Nombre de combinaisons avec un brelan = 0
Nombre de combinaisons avec un carrés = 0

Si k = 3,
Nombre de combinaisons avec une paire + 1 carte différente dans une mains de 3 cartes : ((14 x 6) x (56 - 2)) - (combi avec brelans)
Nombre de combinaisons avec un brelan = 14 x 4
Nombre de combinaisons avec un carré = 0

Si k = 4, Nombre de combinaisons avec une paire + 2 cartes différentes dans une mains de 4 cartes : ((14 x 6) x (56 - 2) x (56 - 3)) - (combi avec brelan) - (combi avec carré)
Nombre de combinaisons avec un brelan + 1 carte différente = 14 x 4 x (56 - 3) - (combi avec carrés)
Nombre de combinaisons avec un carré = 14 x 1

Si k = 5,
Nombre de combinaisons avec une paire + 3 cartes différentes dans une mains de 5 cartes : ((14 x 6) x (56 - 2) x (56 - 3) x (56 - 4)) - (combi avec brelan) - (combi avec brelan + paire) - (combi avec carré)
Nombre de combinaisons avec un brelan + 2 cartes différentes =((14 x 4) x (56 - 3) x (56 - 4)) - (combi avec brelan + paire) - (combi avec carré)
Nombre de combinaisons avec un brelan + une paire =((14 x 4) x (13 x 6))
Nombre de combinaisons avec un carré + 1 carte différente = (14 x 1) x (56 - 4)

Si k = 6,
Nombre de combinaisons avec une paire (+ 4 cartes différentes) dans une mains de 6 cartes : ((14 x 6) x (56 - 2) x (56 - 3) x (56 - 4) x (56 - 5)) - (combi avec carré + paire) - (combi avec carré + 2 cartes différentes) - (combi avec deux paires + 2 cartes diff) - (combi avec 3 paires diffrentes) - (combi avec un seul brelan) - (combi avec un brelan + une paire) - (combi avec deux brelans)
Nombre de combinaisons avec 2 paires différentes + 2 cartes différentes : ((14 x 6) x (13 x 6) x (56 - 4) x (56 - 5)) - (combi avec 3 paires différentes)
Nombre de combinaisons avec 3 paires différentes : ((14 x 6) x (13 x 6) x (12 x 6)
Nombre de combinaisons avec brelan + 3 cartes différentes = (14 x 4) x (56 - 3) x (56 - 4) x (56 - 5) - (combi avec brelan + paire) - (combi avec deux brelans)
Nombre de combinaisons avec deux brelans = (14 x 4) x (13 x 4)
Nombre de combinaisons avec carré + 2 cartes différentes = (14 x 1) x (13 x 6) - (combi avec carré + paire)
Nombre de combinaisons avec carré + paire = (14 x 1) x (13 x 6)
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JPhMM
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par JPhMM »

Virgile a écrit : sam. juin 18, 2022 9:04 pm Elles sont mélangées ensemble.
Pourquoi 14 valeurs et non pas 13 ?
Si 13 valeurs, on peut poser la question à notre très cher WolframAlpha.
Par exemple : https://www.wolframalpha.com/input?i=pr ... -card+hand
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Ravortel
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel »

J'ai donc 56 cartes en 4 séries (1 à 10, puis valet, cavalier, dame, roi, vraisemblablement).
1. J'en tire une, il en reste 55.
2. J'en retire une, il y a 3 chances sur 55 qu'elle soit de même valeur que la précédente. Donc 52/55 qu'elle soit différente. 52/55
3. Une seconde : 51/54
4. Puis encore : 50/53
5. Une cinquième : 49/52
6. Une sixième : 48/51

Sur X variant de 2 à 6, nous avons donc comme chance de n'avoir aucune paire :

p(X=6) = 1 x 52 x 51 x 50 x 49 x 48 / (55 x 54 x 53 x 52 x 51) = 50 x 49 x 48 / (55 x 54x 53) =env. 74.7%, donc 25.3% d'avoir au moins une paire.
p(X=5) = 51 x 50 x 49 / (55 x 54 x 53) =env. 79.4%, donc 20.6% d'avoir 1+ paire.
p(X=4) = 52 x 51 x 50 / (55 x 54 x 53) =env. 84.2%, donc 15.8% pour 1p+.
p(X=3) = 52 x 51 / (55 x 54) =env. 89.3%, donc 10.7% pour 1p+.
p(X=2) = 52 / 55 =env. 94.5%, donc 5.5% pour 1p+.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par JPhMM »

Je ne trouve pas pareil... j'ai du faire une erreur quelque part.

Si je tire trois cartes, identifiées A, B et C.
p(au moins deux sont de même valeur) = p(A=B) + p(A=C) + p(B=C) - 2 x p(A=B=C) (pour ne pas compter ce cas trois fois)
= 3/55 + 3/54 + 3/54 - 2 x 3/55 x 2/54 = 16/99 = 16,16 % environ.

Bizarre, bizarre. Mais en même temps je suis proche du résultat de WolframAlpha qui traite avec 52 cartes plutôt que 56... *se gratte la tête*

J'ai plus l'âge pour ces trucs...
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Olivier Fanton
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Olivier Fanton »

Je ne sais pas si c'est le seul problème, mais tu as au moins un soucis avec le calcul de p(B=C), qui ne tient pas compte du fait que tu as pu tirer la même valeur pour A.
D'ailleurs, instinctivement, tu devrais avoir exactement la même probabilité pour A=B, A=C et B=C.

Voyons... p(A=B<>C) = 56/56 * 3/55 * 52/54 = 8 736 / 166 320 ~= 5,25 %
p(A=B=C) = 56/56 * 3/55 * 2/54 = 336 / 166 320 ~= 0,20 %
Si on fait le total, on trouve 26 544 / 166 320 ~= 15,95 %.

Vérifions en procédant par négation : p(A<>B<>C) = 56/56 * 52/55 * 48/54 = 139 776 / 166 320 ~= 84,04%.
On a bien 26 544 + 139 776 = 166 320, youpi.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par JPhMM »

Oui, je comprends ce que tu veux dire. J'aurais du faire un arbre pour éviter de tomber dans le piège que tu as exhibé.
C'est l'enfer ces calculs de proba, et encore on n'est toujours pas arrivé à "quelle probabilité qu'au moins deux cartes aient même valeur en tirant quatre cartes ?"

Étonnant qu'avec moins de cartes dans le jeu on trouve une proba inférieure à celle proposée par WolframAlpha.
Dernière modification par JPhMM le dim. juin 19, 2022 2:01 pm, modifié 1 fois.
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Olivier Fanton
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Olivier Fanton »

JPhMM a écrit : dim. juin 19, 2022 1:54 pm C'est l'enfer ces calculs de proba, et encore on n'est toujours pas arrivé à "quelle probabilité qu'au moins deux cartes aient même valeur en tirant quatre cartes ?"
En extrapolant mon dernier calcul par négation, ça donne :

p("au moins deux cartes aient même valeur en tirant quatre cartes")
= 1 - p("tirer quatre cartes de valeurs différentes")
= 1 - 56/56 * 52/55 * 48/54 * 44/53
~= 30,23 %

Pour cinq cartes, tu as juste à ajouter un « * 40/52 », etc.

EDIT: tiens, si on additionne mes p(A=B<>C) + p(A=B=C), et qu'on simplifie, on retombe exactement sur ton 3 / 56. On est d'accord, en fait. :)

C'est plutôt @Ravortel dont je ne comprends pas le calcul...

EDIT 2:
JPhMM a écrit : dim. juin 19, 2022 1:54 pm Étonnant qu'avec moins de cartes dans le jeu on trouve une proba inférieure à celle proposée par WolframAlpha.
Il y a plus de cartes dans notre cas, non ? Donc moins de chances de faire des paires.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par JPhMM »

Olivier Fanton a écrit : dim. juin 19, 2022 2:00 pm EDIT: tiens, si on additionne mes p(A=B<>C) + p(A=B=C), et qu'on simplifie, on retombe exactement sur ton 3 / 56. On est d'accord, en fait. :)
Bien vu !
Olivier Fanton a écrit : dim. juin 19, 2022 2:00 pm EDIT 2:
JPhMM a écrit : dim. juin 19, 2022 1:54 pm Étonnant qu'avec moins de cartes dans le jeu on trouve une proba inférieure à celle proposée par WolframAlpha.
Il y a plus de cartes dans notre cas, non ? Donc moins de chances de faire des paires.
Tu as raison. La chaleur d'hier semble avoir grillé mes derniers neurones.

 
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Virgile »

Comme je n'ai pas besoin de résultats précis, mais juste d'ordres de grandeur, je pense que l'approximation par Wolframalpha peut me suffire. Merci à vous !
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par ikaar »

Hello, j'ai besoin d'aide ou de conseil par rapport aux dégâts du système que je crée en ce moment.
J'aimerai résoudre toucher et dégâts en un seul jet mais j'ai peur du syndrome ninja de verre ou de béton.
Je n'arrive pas à voir si je l'évite, si je suis en plein dedans ou les idées pour l'éviter ou l'amoindrir.

Rapidos : base du système= 2d polyhedriques 6/8/10/12), + éventuel petit bonus (1-2 le plus souvent, éventuellement 3) contre diff. 10

Idem en combat mais le plus haut l'emporte tjs, même si les 2 échouent à depasser 10.
2 cas pour les dégâts :
- asymétrie : l'un dépasse 10, l'autre non = le premier l'emporte et inflige les dégâts du plus haut score de ses 2 dés.
-symetrie : les 2 dépassent 10 ou les 2 ratent 10. Le plus haut l'emporte mais inflige du coup des degats du plus petit score de ses 2 dés.
Les dégâts des armes ne s'ajoutent pas, mais constituent une garantie minimale de dégâts. Par exemple, avec une arme de deg 4, le perso infligera 4 au minimum, même si son dé de dégât inflige moins car l'arme est -en soi- meurtrière avec un bon potentiel de dégâts.

Quels soucis voyez vous ?
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel »

les deux dés sont toujours du même type (2d6, 2d8...) ou alors on peut tout mixer (1d6+1d10, 1d12+1d10...) ?

A première vue ça semble assez élégant mais ça mérite de s'y pencher plus profond.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel »

Il faut faire 10 compris ou pas ?
J'ai déjà regardé la partie sans opposition : j'ai considéré que 10 était réussi.
Dans https://anydice.com/, tu rentres ces lignes (toutes en même temps), et tu cliques sur "calculate" :

Code : Tout sélectionner

output 2d6 > 9
output 1d6+1d8 > 9
output 2d8 > 9
output 1d6+1d10 > 9
output 1d6+1d12 > 9
output 1d8+1d10 > 9
output 1d8+1d12 > 9
output 2d10 > 9
output 1d10+1d12 > 9
output 2d12 > 9

output [lowest 1 of 2d6]
output [lowest of d6 and d8]
output [lowest 1 of 2d8]
output [lowest of d6 and d10]
output [lowest of d6 and d12]
output [lowest of d8 and d10]
output [lowest of d8 and d12]
output [lowest 1 of 2d10]
output [lowest of d10 and d12]
output [lowest 1 of 2d12]
Je te les ai mis dans le bon ordre. La réponse de Anydice sera
Premier paquet : le pourcentage de chances de réussite (1) et d'échec (0) pour chaque combinaison de dés.
Second paquet : les %ages d'occurence de chaque valeur du plus mauvais dé de chaque combinaison. A noter la valeur moyenne indiquée au début de chaque série : 2.53 pour 2d6, ou 3.45 pour d8+10, par exemple.
On peut faire un troisième paquet avec "highest" à la plaque de "lowest" pour le cas inverse.

Pour les jets en opposition et le calcul des dégâts, il y a donc 200 cas de figure (10 x10x2). Hmm, faut creuser un peu, là :)
Ca me semble pouvoir se résoudre avec on bon vieux tableau XL et toutes les valeurs précédentes.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par ikaar »

Ravortel a écrit : mer. oct. 19, 2022 12:11 pm les deux dés sont toujours du même type (2d6, 2d8...) ou alors on peut tout mixer (1d6+1d10, 1d12+1d10...) ?

A première vue ça semble assez élégant mais ça mérite de s'y pencher plus profond.

On peut mélanger. A partir de 10, c'est réussi.

Il y a parfois des petits bonus.

Et les Variables de circonstances permettent parfois de jeter un 3e Dé dans une logique avantage / désavantage à la DD5 etc.
Sauf qu'il y a avantage et désavantage mineur et Avantage et désavantage majeur.
Un avantage mineur permet de jeter un 3e dé identique au plus petit polyhèdre et de garder les 2 meilleurs. Même chose pour un désavantage majeur, sauf qu'on garde les 2 pires résultats.
Un avantage majeur permet de jeter un 3e dé identique au meilleur des 2 polyhèdres de base et de garder les 2 meilleurs résultats. Même chose pour un désavantage mineur, sauf qu'on garde les 2 pires des 3 dés.
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par ikaar »

Merci pour ton guide anydice qui est top.
As-tu des remarques conclusives en termes de stats sur ta perception d'un propre système ? Sachant que le jet de 2D6 secs (sans bonus), soit le minimum, restera rares pour les PJs.

Et qu'il y a pas mal d'autres petites possibilités ludiques pour leur donner l'avantage. Par exemple, se spécialiser (uniquement à partir du D8 en comp) offrira un +2 (contre un -1 à la comp générale, exprimée en Dé). L'auspice (c'est à dire le symbole animal sous lequel est né le personnage) conférera de +1 ou +2 à quelques carac exprimées en Dé et éventuellement un sévère -1 à une autre. Les aspects offriront un Avantage majeur automatique à la dépense d'un point (quelque soit toute éventuelle Variable de difficulté). Et enfin une mécanique de sacrifice permettre d'élever d'un cran la réussite narrative (de NON, et à OUI, et en passant par les 4 autres possibilités habituelles depuis FU).

Reste que c'est surtout sur l'application des dégâts en utilisant l'un ou l'autre des 2 polyhèdres (entrant déjà dans la réussite de l'action contre 10) que je me questionne vraiment. Je me dis que la garantie offerte par les armes permet déjà de limiter les choses tout en montrant qu'un gars avec un couteau -par la qualité de maitrise de son jet- pourrait faire plus de dégâts qu'un gars à la hache, même si ce dernier, malgré une éventuelle maladresse, sera tout de même certain d'effectuer quelques bons dégâts garantis par la létalité propre à son arme (plus que par sa maitrise de celle-ci pour le coup).

Enfin, certaines créatures (pour les carac) et certaines légendes humaines (pour les comp) auront accès aux Dés supérieurs au Dé 12 (14-16-18 et 20 !), démontrant leur profonde maitrise du sujet.
Un Dragon (bon, ils n'existent pas dans mon univers, mais c'est pour donner un exemple) pourrait frapper à D20 de Force + D6 ou D8 de comp. C'est sa brutalité qui le rend dangereux, pas son expertise martiale. Par son D20, il pourra potentiellement faire des dégâts énormes.
Mais un Siegfried pourrait l'affronter avec un D10 de Force et un exceptionnel D16 de comp d'Armes. Le combat -hors sacs de PV du Dragon- pourrait être équilibré.
Evidemment la plupart des PJs n'atteindront jamais ces couteux degrés et tout être humain -même Siegfried- gardera une capacité à mourir rapidement dans un affrontement, vu qu'il n'y aura pas d'effet sacs à PV de DD pour les PJs. Forts et fragiles à la fois donc. Un combat reste une épreuve et une légende peut tomber d'un mauvais coup bien placé.
Ravortel
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel »

Je n'ai honnêtement pas le temps de te faire une étude statistique approfondie, mais j'aime assez les mécanismes que tu as faits, "au nez". Pour afiner les notions de durabilité, il me faudrait connaître, plutôt que des cas extrêmes, les valeurs de dés d'un PJ combattant de base, d'un PJ plutôt non-combattant, et d'un professionnel de base type "garde de la milice", ainsi que leurs totaux de PV respectifs. Tu peux même me mettre quelques armes type et je vais voir ce que je pourrai tirer de tout ça d'ici ce WE ?
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